简谐振动

简谐振动的微分方程:d2xdt2+w2x=0简谐振动的微分方程:\\ \frac{d^2x}{dt^2}+w^2x=0

简谐振动方程:x=Acos(wt+φ)简谐振动方程:\\ x=Acos(wt+\varphi)

质点运动的速度:v=dxdt=−Awsin(wt+φ)质点运动的速度:\\ v=\frac{dx}{dt}=-Awsin(wt+\varphi)

如果已知初始条件:t=0x=x0v=v0{x0=Acosφv0=−wAsinφ⟹{A=x02+v02w2tanφ=−v0wx0如果已知初始条件:\\ t = 0\quad x = x_0\quad v=v_0\\ \begin{cases} x_0=Acos\varphi\\ v_0=-wAsin\varphi \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{w^2}} \\ tan\varphi=\frac{-v_0}{wx_0} \end{cases}

由已知条件求简谐振动方程

简谐振动方程:x=Acos(wt+φ)速度:v=dxdt=−Awsin(wt+φ)加速度:a=d2xdt2=−Aw2cos(wt+φ)简谐振动方程:x=Acos(wt+\varphi)\\ 速度:v=\frac{dx}{dt}=-Awsin(wt+\varphi)\\ 加速度:a=\frac{d^2x}{dt^2}=-Aw^2cos(wt+\varphi)

简谐振动的能量:E=Ek+Ep=12kA2∝A2简谐振动的能量:\\ E=E_k+E_p=\frac{1}{2}kA^2\propto A^2

其它公式:w=km其它公式:\\ w=\sqrt \frac{k}{m}

简谐振动的判定

简谐运动的判断式:平动:F合=ma=md2xdt2d2dt2+w2x=0弹簧振子:F=−kx⇓ma=−kx⇓a+kmx=0令w2=kmd2xdt2+w2x=0转动:M=Jα=Jd2θdt2d2θdt2+w2θ=0单摆:w2=mglJθ=θ0cos(wt+ϕ)简谐运动的判断式:\\ 平动:\\ F_合=ma=m\frac{d^2x}{dt^2}\\ \frac{d^2}{dt^2}+w^2x=0\\ 弹簧振子:\\ F=-kx \\\Downarrow\\ ma=-kx \\\Downarrow\\ a+\frac{k}{m}x=0 \\ 令w^2=\frac{k}{m} \\ \frac{d^2x}{dt^2}+w^2x=0 \\\\ 转动: \\ M=J\alpha=J\frac{d^2\theta}{dt^2} \\ \frac{d^2\theta}{dt^2}+w^2\theta=0 \\ 单摆: \\ w^2=\frac{mgl}{J} \\ \theta=\theta_0cos(wt+\phi)